Wiskunde - Una barra di cioccolato magica!

Da amici ho ricevuto il video intitolato Wiskunde (parola olandese che significa 'matematica'). Sono rimasto a bocca aperta. Non era possibile!

Sulle prime ho pensato che, dato che la tavoletta era composta da 5 * 8 = 40 rettangolini di cioccolato, la differenza fra la configurazione iniziale e quella finale fosse dovuta al diverso orientamento dei rettangolini. 

Mi sono rivisto il video e ho constatato che non era così. I rettangolini apparivano forse come dei quadratini (e comunque la loro dimensione è indifferente). Ho visto anche che non c’erano neppure altri trucchi, tipo sostituzione o manipolazione del video.

Come era possibile che ricomponendo in maniera diversa le 5 parti che costituivano la tavoletta iniziale avente per lati 5 e 8 quadratini, si ottenesse la stessa barra di cioccolato di lati 5 * 8 con solo 4 parti?

Per arrivare alla soluzione ho rifatto l’esperimento con un foglio di carta quadrettato, assumendo la base di 5 cm per altezza 8 cm, con 40 quadratini di 1 cm2 ciascuno.

Il risultato era lo stesso di quello mostrato a video, mi rimaneva sempre fuori quel dannato quadratino. 

A quel punto non rimaneva che il ricorso alla logica. Evidentemente il mio approccio al problema era sbagliato. Chiunque osservi il video assume come ipotesi che la barra iniziale e quella finale siano uguali. Per questo non ci si spiega come mai ne resti fuori una parte.

Capovolgete il punto di vista e partite dal risultato: visto che resta fuori una parte, nel nostro caso un quadratino, le due barre, iniziale e finale, devono essere diverse, anche se apparentemente sembrano uguali. 

In effetti la barra iniziale ha un'area di 5 * 8 = 40 quadratini. Per comodità nostra, nei calcoli successivi consideriamo 1 quadratino come 1 cm quadrato (potete assumere l'unità di misura di lunghezza che preferite: il risultato non cambia). 

La barra finale deve per forza avere un'area di 40 - 1 = 39 cm2. E visto che entrambe hanno la base di 5 quadratini, l'altezza della barra finale deve misurare 39 : 5, cioé 7,8 cm.

La differenza fra le due barre è quindi una striscia alta 0,2 mm e larga 5 cm, con un'area di 0,2 * 5  = 1 cm2 pari all'area del quadratino in eccesso.

La differenza di 2 mm, fra le due altezze di 8 cm e 7,8 cm, non è distinguibile ad occhio nudo e per questo la nostra meraviglia per il quadratino che resta fuori!

A questo punto non ci resta che verificare per via matematica che l'altezza della barra finale sia effettivamente 7,8 cm, ossia che la misura della base minore del trapezio indicato con B sia 3,8 cm.

Per comodità nostra, riprendiamo in esame la barra iniziale. Per calcolare la lunghezza del segmento KJ si possono seguire vie diverse.

Il metodo più breve è quello di considerare i due triangoli rettangoli formati tracciando la perpendicolare da C alla base GI. La perpendicolare interseca la EJ in P' e la GI in P, formando i due triangoli CP'J e CPI aventi lo stesso angolo al vertice.

Qui sotto la dimostrazione. Buona lettura!

Per la proprietà di similitudine dei due triangoli CP'J e CPI si può scrivere

CP : PI = CP' : P'J     (1)

Si osserva che

CP = DG = DE + EG = 2 + 3 = 5 cm

PI = GI - DC = 6 - 4 = 2 cm

CP' = DE = 2 cm

Il segmento P'J che forma la base del trianolo CP'J è l'incognita.

Pert trovare P'J sostituiamo nella (1) i segmento con i loro valori.

5 : 2 = 2 : P'J

5 * P'J = 2 * 2

P'J = 4 / 5

P'J = 0,8 cm

Calcoliamo KJ come somma di KP' e P'J. KP' è la differenza fra EP' = DC = 4 cm e EK = 1 cm

KP' = 4 - 1 = 3 cm

per cui KJ = KP' + P'J = 3 + 0,8 = 3,8 cm

(CDD - Come Dovevasi Dimostrare)